Diclib.com
Словарь ChatGPT

Поиск в словаре Индивидуальные решения

Введите слово или словосочетание на любом языке 👆

Язык:

Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT

На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:

как употребляется слово
частота употребления
используется оно чаще в устной или письменной речи
варианты перевода слова
примеры употребления (несколько фраз с переводом)
этимология

Что (кто) такое Комплексные числа - определение

РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Комплексные числа; Комплексное сопряжение; Аргумент (комплексного числа); Аргумент комплексного числа; Мнимая величина; Модуль комплексного числа; Поле комплексных чисел; Чисто комплексные числа; A+bi; Показательная форма комплексного числа; Комплексная единица; ℜ; ℑ; ℂ; Комплексный модуль

$Модуль <math>r</math> и аргумент <math>\varphi</math> комплексного числа$

Комплексные числа

числа вида х + iy, где х и у - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен -1); х называют действительной частью, а у - мнимой частью К. ч. z = х +iy (обозначают х =Rez, у=Imz). Действительные числа (См. Действительное число) - частный случай К. ч. (при у = 0); К. ч., не являющиеся действительными (у ≠ 0), называют мнимыми числами; при х = 0 К. ч. Называют чисто мнимым. К. ч. z = х+iy и z = х-iy называют комплексно-сопряжёнными. Арифметические действия над К. ч. производятся по обычным правилам действий над многочленами с учётом условия i²=-1. Геометрически каждое К. ч. х + iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у (см. рис.). Если полярные координаты этой точки обозначить через r и φ:, то соответствующее К. ч. можно представить в виде:

r (cos φ + i sin φ)

(тригонометрическая, или полярная, форма К. ч.);

называют модулем К. ч. х+iy, а φ = arg z - аргументом его. Тригонометрическая форма К. ч. особенно удобна для действий возведения в степень и извлечения корня:

[r (cos φ + i sin φ)] ⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ),

, в частности

, k = 0, 1, ..., n-1

По своим алгебраическим свойствам совокупность К. ч. образует Поле. Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое уравнение xⁿ + a₁x^n-1+...+a_n =0; где a₁,..., a_n - К. ч., имеет (при учёте кратности) среди К. ч. точно n корней.

Уже в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел; в этом случае задача считалась неразрешимой. Когда же в 1-й половине 16 в. были найдены формулы для решения кубических уравнений (См. Кубическое уравнение), оказалось, что в так называемом неприводимом случае действительные корни уравнений с действительными коэффициентами получаются в результате действий над К. ч. Это содействовало признанию К. ч. Первое обоснование простейших действий с К. ч. встречается у Р. Бомбелли в 1572. Однако долгое время к К. ч. относились, как к чему-то сверхъестественному. Так, Г. Лейбниц в 1702 писал: "Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием". В 1748 Л. Эйлер нашёл замечательную формулу eⁱ^φ = cosφ + isinφ, явившуюся первым важным результатом теории функций комплексного переменного, но истинный характер К. ч. выяснился лишь к концу 18 в., когда была открыта их геометрическая интерпретация (см. выше). Термин "К. ч." предложен К. Гауссом в 1831. Введение К. ч. делает многие математические рассмотрения более единообразными и ясными и является важным этапом в развитии понятия о числе (см. Число). К. ч. Употребляются теперь при математическом описании многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т.д.). Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании К. ч., чем обусловливается центральное место, занимаемое теорией функций комплексного переменного. См. Аналитические функции.

Лит.: Маркушевич А. И., Комплексные числа и конформные отображения, 2 изд., М., 1960; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.

Рис. к ст. Комплексные числа.

Гиперболические числа

Паракомплексные числа; Расщепляемые комплексные числа; Двойные числа

Гиперболические числа, или двойны́е чи́сла, паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́слаС. А.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперболические_числа

Комплексное число

Ко́мпле́ксные чи́сла (от — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечаниеДва возможных ударения указаны согласно следующим источникам.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное_число

Википедия

Комплексное число

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечание) — числа вида $a+bi,$ где $a,b$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $i^{2}=-1.$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\mathbb {C} .$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $a+0i.$ Главное свойство $\mathbb {C}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $n$ -й степени ( $n\geqslant 1$ ) имеет $n$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше. Удобно представлять комплексные числа $a+bi$ точками на комплексной плоскости; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе.

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение $i$ для мнимой единицы, Декарт, Гаусс. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году.

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Комплексное число