Что (кто) такое Комплексные числа - определение

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечание) — числа вида ${\displaystyle a+bi,}$ где ${\displaystyle a,b}$ — вещественные числа, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: ${\displaystyle i^{2}=-1.}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид ${\displaystyle a+0i.}$ Главное свойство ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен ${\displaystyle n}$-й степени (${\displaystyle n\geqslant 1}$) имеет ${\displaystyle n}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше. Удобно представлять комплексные числа ${\displaystyle a+bi}$ точками на комплексной плоскости; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе.

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение ${\displaystyle i}$ для мнимой единицы, Декарт, Гаусс. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году.

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы.